Value at Risk ed Expected Shortfall: Utilità e Limiti

Un Value at Risk al 95% di un milione di euro non dice che la perdita massima possibile è un milione di euro: dice che, con una probabilità del 95%, la perdita in un dato periodo non supererà quella soglia. Cosa succede nel restante 5% dei casi — quanto si può perdere quando la soglia viene effettivamente superata — è una domanda a cui il VaR, per costruzione, non risponde.

Value at Risk: una soglia di probabilità, non un limite massimo

Il Value at Risk stima la perdita massima che non dovrebbe essere superata con un dato livello di confidenza (tipicamente 95% o 99%) in un determinato orizzonte temporale, sulla base della distribuzione storica o stimata dei rendimenti. Un VaR al 95% su un orizzonte di un giorno indica che, in media, ci si attende di superare quella soglia di perdita solo in un giorno su venti. È una misura di probabilità di soglia, non un limite assoluto: nulla nella definizione del VaR impedisce che, nel giorno in cui la soglia viene superata, la perdita effettiva sia molto più ampia della soglia stessa.

I tre metodi principali di calcolo

Il VaR storico ricostruisce la distribuzione delle perdite applicando direttamente i rendimenti realmente osservati in un periodo storico alla composizione attuale del portafoglio, senza assumere una forma specifica per la distribuzione. Il VaR parametrico assume che i rendimenti seguano una distribuzione nota, tipicamente normale, e calcola la soglia analiticamente dai parametri di quella distribuzione (media e deviazione standard). Il VaR simulato, spesso basato su simulazione Monte Carlo, genera un gran numero di scenari possibili secondo un modello statistico e calcola la soglia empiricamente su quei risultati simulati. Ciascun metodo ha assunzioni diverse, e può produrre valori di VaR diversi sugli stessi dati di partenza.

Il limite fondamentale: cosa succede oltre la soglia

Il limite più citato del VaR è che non fornisce alcuna informazione sulla dimensione della perdita nei casi in cui la soglia viene superata. Due portafogli possono avere lo stesso VaR al 95% ma un profilo di coda molto diverso: uno con perdite oltre la soglia contenute e prevedibili, l'altro con perdite oltre la soglia potenzialmente molto più ampie, concentrate in eventi rari ma estremi. Il VaR, da solo, non distingue questi due casi, nonostante rappresentino profili di rischio sostanzialmente diversi per chi deve gestire davvero la coda della distribuzione.

Expected Shortfall: la media delle perdite oltre la soglia

L'Expected Shortfall, chiamato anche Conditional Value at Risk (CVaR), risponde direttamente al limite del VaR: calcola la perdita media attesa nei casi in cui la soglia del VaR viene effettivamente superata, non solo la soglia stessa. Un Expected Shortfall al 95% più alto rispetto a un altro portafoglio con lo stesso VaR al 95% indica che, quando le cose vanno peggio della soglia, tendono ad andare significativamente peggio in quel portafoglio rispetto all'altro — un'informazione che il solo VaR non cattura.

Tabella: VaR contro Expected Shortfall

Esempio ipotetico: stesso VaR, Expected Shortfall diverso

Si ipotizzino due portafogli con lo stesso VaR al 95% su un giorno, pari a 100.000 euro. Il primo, nei rari casi in cui la soglia viene superata, registra perdite concentrate tra 100.000 e 130.000 euro, con un Expected Shortfall di circa 115.000 euro. Il secondo, esposto a un rischio di coda più marcato — per esempio per la presenza di posizioni con pagamenti fortemente asimmetrici — nei casi di superamento registra perdite che vanno da 100.000 fino a 400.000 euro, con un Expected Shortfall molto più alto, attorno ai 220.000 euro. Il VaR identico nasconderebbe questa differenza sostanziale, visibile invece nell'Expected Shortfall.

Questo esempio è una costruzione didattica con valori ipotetici, scelta per isolare la differenza informativa tra le due metriche; non descrive portafogli reali.

Perché la regolamentazione bancaria si è spostata verso l'Expected Shortfall

Il quadro regolamentare di Basilea per il rischio di mercato bancario ha progressivamente adottato l'Expected Shortfall come misura di riferimento al posto del solo VaR, riconoscendo esplicitamente il limite della soglia di probabilità senza informazione sulla coda. Questo cambiamento riflette anche una proprietà matematica rilevante: l'Expected Shortfall è una misura di rischio subadditiva, cioè il rischio calcolato su un portafoglio combinato non supera mai la somma dei rischi calcolati separatamente sulle sue componenti — una proprietà che il VaR non garantisce sempre, potendo in alcuni casi teoricamente aumentare invece di diminuire quando si combinano posizioni, un comportamento controintuitivo per una misura di rischio.

Limiti condivisi da entrambe le misure

Sia VaR sia Expected Shortfall dipendono dalla qualità della distribuzione di rendimenti usata per il calcolo — storica, parametrica o simulata — e nessuna delle due garantisce che il futuro replichi la distribuzione usata. Entrambe, inoltre, sono tipicamente calcolate su un orizzonte temporale breve (spesso un giorno), un dato meno direttamente utile per un investitore con orizzonte pluriennale rispetto a un'istituzione finanziaria che gestisce rischio di mercato a brevissimo termine.

Il problema della subadditività spiegato con un esempio

La subadditività è la proprietà per cui il rischio di un portafoglio combinato non dovrebbe mai superare la somma dei rischi calcolati separatamente sulle sue componenti — un principio coerente con l'idea stessa di diversificazione. Il VaR, in alcuni casi particolari (tipicamente con distribuzioni di rendimento molto asimmetriche o con dipendenze non lineari tra le posizioni), può violare questa proprietà: il VaR del portafoglio combinato risulta superiore alla somma dei VaR calcolati separatamente, un risultato controintuitivo che sembrerebbe indicare che diversificare aumenta il rischio invece di ridurlo. L'Expected Shortfall non presenta questo problema per costruzione matematica: è sempre subadditivo, il che lo rende una misura più coerente con l'intuizione di base della diversificazione in ogni circostanza, non solo nei casi tipici.

Come si legge un VaR nella pratica quotidiana

Un VaR giornaliero al 99% di 50.000 euro su un portafoglio di un milione di euro significa, in pratica, che ci si attende di perdere più di 50.000 euro in un giorno circa una volta ogni cento giorni di negoziazione, sulla base della distribuzione usata per il calcolo. Non significa che una perdita superiore sia impossibile, né che si verificherà esattamente con quella frequenza nel futuro: è una stima costruita su dati storici o su un modello statistico, non un limite fisico del mercato. Interpretare correttamente questo dato richiede di ricordare costantemente che si tratta di una soglia di probabilità stimata, non di un limite garantito.

Errori frequenti

Un primo errore è interpretare il VaR come la perdita massima possibile, quando è invece una soglia di probabilità che può essere superata, con conseguenze non limitate dal valore del VaR stesso. Un secondo è confrontare VaR calcolati con metodi diversi (storico, parametrico, simulato) come se fossero direttamente comparabili, ignorando che le assunzioni sottostanti differiscono. Un terzo è ignorare l'Expected Shortfall quando disponibile, affidandosi al solo VaR nonostante quest'ultimo non catturi l'informazione sulla coda della distribuzione.

Checklist finale

• Non tratto il VaR come una perdita massima garantita, sapendo che è una soglia di probabilità superabile.
• Preferisco l'Expected Shortfall quando disponibile, per la sua informazione diretta sulla coda della distribuzione.
• Verifico quale metodo di calcolo (storico, parametrico, simulato) è stato usato prima di confrontare valori di VaR diversi.
• Considero l'orizzonte temporale del calcolo, tipicamente breve, rispetto al mio orizzonte di investimento reale.
• Non assumo che la distribuzione storica usata nel calcolo replichi necessariamente le condizioni future.

Conclusione

Value at Risk ed Expected Shortfall rispondono a domande correlate ma diverse: il primo indica una soglia di probabilità, il secondo indica quanto ci si aspetta realisticamente di perdere quando quella soglia viene effettivamente superata. Il limite più importante del VaR — l'assenza di informazione sulla coda della distribuzione — è esattamente ciò che l'Expected Shortfall corregge, ed è per questo che la regolamentazione più recente tende a privilegiare quest'ultimo come misura di riferimento primaria per il rischio di coda.