Convessità delle obbligazioni: cosa aggiunge alla duration

Il punto di partenza: la duration è una linea retta

L'articolo di questo ecosistema di contenuti dedicato a duration e duration modificata spiega come questa misura stimi la sensibilità percentuale del prezzo di un'obbligazione a una variazione di un punto percentuale dei tassi di interesse. FINRA lo illustra con un esempio diretto: "se un'obbligazione ha una duration di 10 e i tassi di interesse aumentano di un punto percentuale, ci si aspetta che il prezzo dell'obbligazione scenda di circa il 10%". Questo articolo non ripete quella spiegazione — la assume come nota — e si concentra su un limite specifico di quella stima: è un'approssimazione lineare di una relazione che, in realtà, è curva.

Se si rappresenta graficamente il prezzo di un'obbligazione in funzione del suo rendimento, la linea che si ottiene non è retta ma leggermente convessa (curva verso l'alto). La duration stima la pendenza di quella curva in un singolo punto — il tasso corrente — e la usa come se fosse costante per qualunque variazione di tasso. Per piccole variazioni, questa approssimazione lineare è vicina alla realtà; per variazioni più ampie, l'errore di approssimazione cresce, perché la curva reale si allontana sempre di più dalla retta tangente usata dalla duration.

Cosa misura la convessità

La convessità è la misura di quanto la curva reale si discosti dalla stima lineare della duration — in termini tecnici, è la derivata seconda della relazione prezzo-rendimento, mentre la duration modificata è legata alla derivata prima. In pratica, senza entrare nel calcolo differenziale: la convessità cattura quanto la sensibilità del prezzo (la duration stessa) cambi al variare del livello dei tassi. Una duration che rimane costante per qualunque livello di tasso implicherebbe convessità zero; nella realtà, per la maggior parte delle obbligazioni a tasso fisso senza opzioni incorporate, la duration effettiva aumenta leggermente quando i tassi scendono e diminuisce leggermente quando i tassi salgono — ed è proprio questa variazione che la convessità quantifica.

Perché la convessità è (quasi sempre) una buona notizia

Per un'obbligazione a tasso fisso ordinaria, senza clausole di rimborso anticipato, la convessità è positiva. Questo ha un'implicazione pratica favorevole per chi detiene il titolo: a fronte di una stessa variazione di tasso in valore assoluto, il guadagno di prezzo quando i tassi scendono è sempre leggermente maggiore, in percentuale, della perdita di prezzo quando i tassi salgono della stessa entità. La duration da sola, essendo un'approssimazione lineare simmetrica, non cattura questa asimmetria a favore dell'investitore — la sottostima nei ribassi di tasso e la sovrastima (in negativo) nei rialzi.

Un esempio numerico

Consideriamo un'obbligazione ipotetica con duration modificata pari a 8 e una convessità positiva stimata pari a 0,75 (un valore plausibile per un titolo a scadenza medio-lunga). La stima di variazione percentuale di prezzo, includendo la correzione di convessità, si approssima con la formula:

ΔPrezzo % ≈ (−Duration modificata × ΔRendimento) + (0,5 × Convessità × ΔRendimento²)

Per un rialzo di tassi di 2 punti percentuali (ΔRendimento = +0,02):

• Componente duration: −8 × 0,02 = −0,16, cioè −16%
• Componente convessità: 0,5 × 0,75 × 0,02² = 0,00015, cioè +0,015%
• Stima totale corretta: circa −15,985%, leggermente meno negativa della sola stima di duration (−16%)

Per un calo di tassi di 2 punti percentuali (ΔRendimento = −0,02):

• Componente duration: −8 × (−0,02) = +0,16, cioè +16%
• Componente convessità: 0,5 × 0,75 × 0,02² = 0,00015, cioè +0,015%
• Stima totale corretta: circa +16,015%, leggermente più positiva della sola stima di duration (+16%)

In questo esempio la correzione è piccola in valore assoluto (variazioni di tasso di 2 punti percentuali sono già considerate ampie), ma illustra chiaramente la direzione dell'effetto: la convessità positiva aggiunge sempre un piccolo vantaggio, sia nei rialzi (attenuando la perdita) sia nei ribassi (amplificando il guadagno) — mai il contrario, per un'obbligazione a convessità positiva.

Quando la correzione conta davvero

La correzione di convessità cresce in importanza in tre casi: quando la variazione di tasso è ampia (oltre 100-150 punti base), quando la duration del titolo è alta (obbligazioni a lunga scadenza o zero coupon, trattate nell'articolo dedicato di questo percorso, hanno tipicamente convessità più elevata a parità di duration rispetto a titoli con cedole generose), e quando si confrontano due obbligazioni con la stessa duration ma convessità diversa — a parità di duration, il titolo con convessità più alta è sempre preferibile a parità di ogni altra condizione, perché offre lo stesso rischio di tasso di prima approssimazione ma un profilo di rendimento più favorevole per grandi movimenti di tasso in entrambe le direzioni.

L'eccezione: convessità negativa

Non tutte le obbligazioni hanno convessità positiva. Le obbligazioni callable — che danno all'emittente il diritto di rimborsarle anticipatamente, tipicamente quando i tassi scendono e l'emittente può rifinanziarsi a condizioni migliori — possono presentare convessità negativa in certi intervalli di prezzo: il guadagno di prezzo quando i tassi scendono è limitato dalla probabilità crescente di richiamo anticipato, capovolgendo la relazione favorevole descritta sopra. Questo caso specifico, con le sue implicazioni pratiche per chi investe in obbligazioni callable, è trattato in un articolo dedicato più avanti in questo percorso e non viene approfondito qui.

Perché due obbligazioni con la stessa duration possono avere convessità diverse

Un punto spesso frainteso è pensare che duration e convessità siano la stessa informazione espressa in due modi diversi. Non lo sono: due obbligazioni possono avere identica duration modificata ma convessità molto diversa, a seconda di come sono distribuiti i loro flussi di cassa nel tempo. Un'obbligazione a cedola bassa con scadenza intermedia e un'obbligazione zero coupon con scadenza leggermente più breve possono, per costruzione, avere la stessa duration — ma lo zero coupon, concentrando tutto il valore in un unico pagamento finale, tenderà ad avere una convessità diversa (spesso più elevata a parità di duration) rispetto a un titolo con flussi di cassa distribuiti su più date attraverso cedole periodiche. Anche un portafoglio costruito con una strategia "barbell" (concentrando posizioni su scadenze molto brevi e molto lunghe, evitando le scadenze intermedie) tende ad avere una convessità più alta, a parità di duration media, rispetto a un portafoglio "bullet" concentrato su un'unica scadenza intermedia — un tema che approfondiamo nell'articolo dedicato alle strategie di scadenza più avanti in questo percorso.

Un secondo esempio: confronto tra due titoli a pari duration

Supponiamo due obbligazioni ipotetiche, entrambe con duration modificata pari a 7, ma con convessità diverse: Titolo X ha convessità 0,40, Titolo Y ha convessità 0,90 (più alta, ad esempio perché costruito con flussi di cassa più dispersi nel tempo). A fronte di un movimento di tasso ampio, ad esempio +3 punti percentuali:

• Titolo X: stima duration = −7×0,03 = −21%; correzione convessità = 0,5×0,40×0,03² = +0,018%; stima corretta ≈ −20,982%
• Titolo Y: stima duration = −7×0,03 = −21% (identica, stessa duration); correzione convessità = 0,5×0,90×0,03² = +0,041%; stima corretta ≈ −20,959%

La differenza tra i due titoli in questo scenario è piccola in termini assoluti ma sistematicamente a favore del Titolo Y (convessità più alta): a parità di duration — quindi a parità di rischio di tasso di prima approssimazione — il Titolo Y perde sempre leggermente meno nei rialzi e guadagna sempre leggermente di più nei ribassi, rispetto al Titolo X. Su un portafoglio di grandi dimensioni o in presenza di movimenti di tasso ancora più ampi, questa differenza sistematica diventa via via più rilevante.

Errori comuni

Il primo errore è ignorare completamente la convessità e trattare la stima di duration come esatta per qualunque variazione di tasso, un'approssimazione che diventa via via meno affidabile man mano che il movimento di tasso considerato si allarga. Il secondo errore è assumere che tutte le obbligazioni abbiano convessità positiva: le obbligazioni callable sono un'eccezione strutturale importante. Il terzo errore è confondere convessità alta con rischio più basso in assoluto: la convessità migliora il profilo di rendimento a parità di duration, ma non elimina il rischio di tasso di base catturato dalla duration stessa, ed è un fattore secondario da valutare solo dopo aver stabilito una duration coerente con il proprio orizzonte temporale.

Convessità e obbligazioni indicizzate all'inflazione

La convessità come proprietà matematica della relazione prezzo-rendimento si applica anche ai titoli indicizzati all'inflazione, trattati nell'ultimo articolo di questo percorso, con una complicazione aggiuntiva: il prezzo di questi titoli reagisce sia a variazioni dei tassi reali sia a variazioni delle aspettative di inflazione, due fonti di rischio distinte che si sommano nella determinazione della curvatura complessiva della relazione prezzo-rendimento. Questo articolo non entra nel dettaglio di questa complicazione — la segnala solo come promemoria che la convessità "pura" descritta qui, calcolata su un'obbligazione a tasso fisso nominale, è il caso più semplice, non l'unico esistente sul mercato.

Perché si chiama proprio "convessità"

Il nome deriva direttamente dalla forma geometrica della curva prezzo-rendimento: una funzione è detta "convessa" quando, presi due punti qualsiasi sulla curva, il segmento che li unisce sta sempre sopra la curva stessa. Applicato al prezzo di un'obbligazione, questo significa che la curva reale sta sempre sopra la retta tangente usata dalla stima di duration in un dato punto — ed è esattamente questa proprietà geometrica a garantire che la correzione di convessità sia sempre a favore dell'investitore, per un'obbligazione a convessità positiva, indipendentemente dalla direzione del movimento di tasso. Non è una coincidenza terminologica: la parola descrive precisamente la proprietà matematica che genera il vantaggio pratico discusso in questo articolo.

Limiti del concetto

Questo articolo presenta la convessità come correzione di secondo ordine alla stima di duration, il livello di approfondimento standard per un investitore informato. Un'analisi quantitativa rigorosa di portafogli obbligazionari complessi (ad esempio per gestori istituzionali) utilizza modelli più sofisticati che vanno oltre la semplice formula a due termini presentata qui, specialmente per titoli con flussi di cassa non standard come le obbligazioni callable o i mortgage-backed securities, dove la relazione prezzo-rendimento può avere forme molto più complesse di una semplice curva convessa, incluse le già citate zone di convessità negativa che un modello semplificato come quello presentato in questo articolo non cattura correttamente.

Implicazioni operative

Per la maggior parte degli investitori retail, la convessità non richiede un calcolo preciso quanto piuttosto una consapevolezza qualitativa: a parità di duration, un'obbligazione (o un ETF obbligazionario) con maggiore convessità offre un profilo di rischio-rendimento leggermente più favorevole in caso di grandi movimenti di tasso, un fattore che può pesare nella scelta tra strumenti altrimenti simili per scadenza e tasso cedolare. È un fattore secondario rispetto alla duration nella costruzione di un portafoglio obbligazionario, ma non trascurabile per chi gestisce posizioni significative o si aspetta movimenti di tasso ampi.

Un ultimo suggerimento pratico: quando si confrontano fogli informativi o schede prodotto di ETF obbligazionari, la duration modificata è quasi sempre riportata esplicitamente, mentre la convessità lo è più raramente. In assenza di un dato di convessità esplicito, un'euristica ragionevole — non un sostituto rigoroso del calcolo — è che, a parità di duration, strumenti con una dispersione più ampia delle scadenze dei titoli sottostanti (come un ETF aggregate che copre l'intero spettro di scadenze) tendono ad avere convessità relativamente più alta di uno strumento concentrato su un singolo tratto stretto della curva.